Calcolo Esempi

$y = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 1

Scrivi $y = 180 x - 0.3 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $180 x - 0.3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Calcola $\frac{d}{d x} [180 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $180 x$ rispetto a $x$ è $180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Moltiplica $180$ per $1$ .

$180 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 0.3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$180 - 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$180 - 0.3 (3 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $- 0.3$ .

$180 - 0.9 x^{2}$

Riordina i termini.

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.9 x^{2} + 180$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [180]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (180)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 0.9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 0.9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (180)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 0.9 (2 x) + \frac{d}{d x} (180)$

Moltiplica $2$ per $- 0.9$ .

$f'' (x) = - 1.8 x + \frac{d}{d x} (180)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $180$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 1.8 x + 0$

Somma $- 1.8 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 1.8 x$

Step 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Step 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $180 x - 0.3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (180 x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Calcola $\frac{d}{d x} [180 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $180 x$ rispetto a $x$ è $180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 180 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Moltiplica $180$ per $1$ .

$f' (x) = 180 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 0.3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 180 - 0.3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 180 - 0.3 (3 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $- 0.3$ .

$f' (x) = 180 - 0.9 x^{2}$

Riordina i termini.

$f' (x) = - 0.9 x^{2} + 180$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 0.9 x^{2} + 180$ .

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 0.9 x^{2} + 180 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Sottrai $180$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 0.9 x^{2} = - 180$

Dividi per $- 0.9$ ciascun termine in $- 0.9 x^{2} = - 180$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $- 0.9$ ciascun termine in $- 0.9 x^{2} = - 180$ .

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $- 0.9$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $- 180$ per $- 0.9$ .

$x^{2} = 200$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{200}$

Semplifica $\pm \sqrt{200}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $200$ come $10^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $100$ da $200$ .

$x = \pm \sqrt{100 (2)}$

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 2}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 10 \sqrt{2}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 10 \sqrt{2}$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 10 \sqrt{2}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 8

Punti critici da calcolare.

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 9

Calcola la derivata seconda per $x = 10 \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 1.8 (10 \sqrt{2})$

Step 10

Moltiplica $- 1.8 (10 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $10$ per $- 1.8$ .

$- 18 \sqrt{2}$

Moltiplica $- 18$ per $\sqrt{2}$ .

$- 25.45584412$

Step 11

$x = 10 \sqrt{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 10 \sqrt{2}$ è un massimo locale

Step 12

Trova il valore di y quando $x = 10 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $10 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (10 \sqrt{2}) = 180 (10 \sqrt{2}) - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $10$ per $180$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

Applica la regola del prodotto a $10 \sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (10^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 {\sqrt{2}}^{3})$

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{3}})$

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{8})$

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{4 (2)})$

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Estrai i termini dal radicale.

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 (2 \sqrt{2}))$

Moltiplica $2$ per $1000$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (2000 \sqrt{2})$

Moltiplica $- 0.3 (2000 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2000$ per $- 0.3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 600 \sqrt{2}$

Moltiplica $- 600$ per $\sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 848.52813742$

Sottrai $848.52813742$ da $1800 \sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1697.05627484$

La risposta finale è $1697.05627484$ .

$y = 1697.05627484$

Step 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 10 \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$

Step 14

Moltiplica $- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 10$ per $- 1.8$ .

$18 \sqrt{2}$

Moltiplica $18$ per $\sqrt{2}$ .

$25.45584412$

Step 15

$x = - 10 \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 10 \sqrt{2}$ è un minimo locale

Step 16

Trova il valore di y quando $x = - 10 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- 10 \sqrt{2}) = 180 (- 10 \sqrt{2}) - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 10$ per $180$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

Applica la regola del prodotto a $- 10 \sqrt{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 ({(- 10)}^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

Eleva $- 10$ alla potenza di $3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 {\sqrt{2}}^{3})$

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{3}})$

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{8})$

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{4 (2)})$

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 (2 \sqrt{2}))$

Moltiplica $2$ per $- 1000$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$

Moltiplica $- 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2000$ per $- 0.3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 600 \sqrt{2}$

Moltiplica $600$ per $\sqrt{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 848.52813742$

Somma $- 1800 \sqrt{2}$ e $848.52813742$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1697.05627484$

La risposta finale è $- 1697.05627484$ .

$y = - 1697.05627484$

Step 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$ .

$(10 \sqrt{2}, 1697.05627484)$ è un massimo locale

$(- 10 \sqrt{2}, - 1697.05627484)$ è un minimo locale

Step 18