Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 3 x + 6$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [6]$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Somma $2 x - 3$ e $0$ .

$2 x - 3$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x - 3 = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x - 3 + \frac{d}{d x} (6)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3 + 0$

Somma $2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{3}{2}$

Step 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2$

Step 9

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale

Step 10

Trova il valore di y quando $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Moltiplica $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

$- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 6$

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 6$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 6$

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6$

Scrivi $6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6 \cdot 4}{4}$

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 24}{4}$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 24}{4}$

Somma $- 9$ e $24$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{15}{4}$

La risposta finale è $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Step 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} - 3 x + 6$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$ è un minimo locale

Step 12