Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Moltiplica $12$ per $1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Somma $6 x^{2} - 18 x + 12$ e $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 18 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Somma $12 x - 18$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Somma $6 x^{2} - 18 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $6$ da $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Scomponi $6$ da $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Scomponi $6$ da $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2, 1$

Step 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (2) - 18$

Step 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $12$ per $2$ .

$24 - 18$

Sottrai $18$ da $24$ .

$6$

Step 10

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Step 11

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Somma $1$ e $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 16 - 9 \cdot 4 + 12 (2) + 1$

Moltiplica $- 9$ per $4$ .

$f (2) = 16 - 36 + 12 (2) + 1$

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f (2) = 16 - 36 + 24 + 1$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $36$ da $16$ .

$f (2) = - 20 + 24 + 1$

Somma $- 20$ e $24$ .

$f (2) = 4 + 1$

Somma $4$ e $1$ .

$f (2) = 5$

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Step 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (1) - 18$

Step 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 18$

Sottrai $18$ da $12$ .

$- 6$

Step 14

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Step 15

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 - 9 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 (1) + 1$

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 + 1$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $9$ da $2$ .

$f (1) = - 7 + 12 + 1$

Somma $- 7$ e $12$ .

$f (1) = 5 + 1$

Somma $5$ e $1$ .

$f (1) = 6$

La risposta finale è $6$ .

$y = 6$

Step 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ .

$(2, 5)$ è un minimo locale

$(1, 6)$ è un massimo locale

Step 17