Calcolo Esempi

$x^{\cos (2 x)}$

Step 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Riscrivi $x^{\cos (2 x)}$ come $e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}]$

Espandi $\ln (x^{\cos (2 x)})$ spostando $\cos (2 x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (x)}]$

Step 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (2 x) \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Step 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 5

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Step 7

Differenzia.

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Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Step 8

Semplifica.

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Applica la proprietà distributiva.

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

$e^{\cos (2 x) \ln (x)}$ e $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) (- 2 \sin (2 x))$

Riordina i termini.

$- 2 e^{\cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x}$