Calcolo Esempi

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \cdot \ln (x)} d x$

Step 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $2$ dall'esponente.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2$

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1 u_{upper} = 2$

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Step 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Step 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $2$ e per $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Step 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Step 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (2)$

Step 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2)$

Forma decimale:

$0.69314718 \dots$