Calcolo Esempi

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = \sec^{2} (9 t)$ .

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{9}$ e $\tan (9 t)$ .

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

$t$ e $\frac{\tan (9 t)}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

Sia $u = 9 t$ . Allora $d u = 9 d t$ , quindi $\frac{1}{9} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u = 9 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9$

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

$\tan (u)$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

L'integrale di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

Riscrivi $\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ come $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 t$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$