Calcolo Esempi

$\int e^{2 x} \cos (x) d x$

Step 1

Riordina $e^{2 x}$ e $\cos (x)$ .

$\int \cos (x) e^{2 x} d x$

Step 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x$

Step 3

Poiché $\frac{1}{2} \cdot - 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot - 1$ fuori dall'integrale.

$\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Step 4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

$\cos (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Riordina $e^{2 x}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int \sin (x) e^{2 x} d x)$

Step 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x))$

Step 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

Step 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

$\sin (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1}{2} \cdot \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

Moltiplica $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ per $\frac{- 1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{2 \cdot 2} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + 1 (\frac{- 1}{2}) (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Moltiplica $\frac{- 1}{2}$ per $1$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{- 1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} \cos (x) d x$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} \cos (x) d x$

Step 8

Risolvendo $\int e^{2 x} \cos (x) d x$ , troviamo che $\int e^{2 x} \cos (x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Step 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin (x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1 \cdot (\sin (x) e^{2 x})}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - - \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + 1 \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Moltiplica $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}$ per $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{5}{4}$ .

$(\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Riscrivi $(\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ come $(\frac{1}{2} \cos (x) e^{2 x} + \frac{1}{4} \sin (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{1}{2} \cos (x) e^{2 x} + \frac{1}{4} \sin (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$