Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 52$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 52$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Somma $- 3 x^{2} + 18 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 18 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

Moltiplica $18$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x + 18$ .

$- 6 x + 18$

Step 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 6 x + 18 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 6 x + 18 = 0$

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 x = - 18$

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x = - 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x = - 18$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $- 18$ per $- 6$ .

$x = 3$

Step 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $3$ in $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 52$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 52$

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f (3) = - 27 + 81 - 52$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 27$ e $81$ .

$f (3) = 54 - 52$

Sottrai $52$ da $54$ .

$f (3) = 2$

La risposta finale è $2$ .

$2$

Il punto trovato sostituendo $3$ in $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ è $(3, 2)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3, 2)$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $2.9$ nell'espressione.

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 6$ per $2.9$ .

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

Somma $- 17.4$ e $18$ .

$f'' (2.9) = 0.6$

La risposta finale è $0.6$ .

$0.6$

In corrispondenza di $2.9$ , la derivata seconda è $0.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 3)$ .

Crescente su $(- \infty, 3)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $3.1$ nell'espressione.

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 6$ per $3.1$ .

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

Somma $- 18.6$ e $18$ .

$f'' (3.1) = - 0.6$

La risposta finale è $- 0.6$ .

$- 0.6$

Per $3.1$ , la derivata seconda è $- 0.6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(3, \infty)$ .

Decrescente su $(3, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Step 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(3, 2)$ .

$(3, 2)$

Step 8