Calcolo Esempi

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$

Step 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $150 + 8 x^{3} + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [150] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (150) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Poiché $150$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $150$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 0 + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Somma $0$ e $24 x^{2}$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{2} + 48 x$

Step 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} + 48 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} + 48 x = 0$

Scomponi $12 x$ da $12 x^{2} + 48 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $12 x$ da $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 48 x = 0$

Scomponi $12 x$ da $48 x$ .

$12 x (x) + 12 x (4) = 0$

Scomponi $12 x$ da $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x + 4) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4$

Step 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $0$ in $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 150 + 8 {(0)}^{3} + {(0)}^{4}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 150 + 8 \cdot 0 + {(0)}^{4}$

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (0) = 150 + 0 + {(0)}^{4}$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 150 + 0 + 0$

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Somma $150$ e $0$ .

$f (0) = 150 + 0$

Somma $150$ e $0$ .

$f (0) = 150$

La risposta finale è $150$ .

$150$

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ è $(0, 150)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 150)$

Sostituisci $- 4$ in $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = 150 + 8 {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f (- 4) = 150 + 8 \cdot - 64 + {(- 4)}^{4}$

Moltiplica $8$ per $- 64$ .

$f (- 4) = 150 - 512 + {(- 4)}^{4}$

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$f (- 4) = 150 - 512 + 256$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $512$ da $150$ .

$f (- 4) = - 362 + 256$

Somma $- 362$ e $256$ .

$f (- 4) = - 106$

La risposta finale è $- 106$ .

$- 106$

Il punto trovato sostituendo $- 4$ in $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ è $(- 4, - 106)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 4, - 106)$

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 150), (- 4, - 106)$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4.1$ nell'espressione.

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 48 (- 4.1)$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 48 (- 4.1)$

Moltiplica $12$ per $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 48 (- 4.1)$

Moltiplica $48$ per $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 196.8$

Sottrai $196.8$ da $201.72$ .

$f'' (- 4.1) = 4.92$

La risposta finale è $4.92$ .

$4.92$

In corrispondenza di $- 4.1$ , la derivata seconda è $4.92$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2)$

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2)$

Moltiplica $48$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96$

Sottrai $96$ da $48$ .

$f'' (- 2) = - 48$

La risposta finale è $- 48$ .

$- 48$

Per $- 2$ , la derivata seconda è $- 48$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 4, 0)$ .

Decrescente su $(- 4, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

Moltiplica $12$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 48 (0.1)$

Moltiplica $48$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 4.8$

Somma $0.12$ e $4.8$ .

$f'' (0.1) = 4.92$

La risposta finale è $4.92$ .

$4.92$

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $4.92$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 106), (0, 150)$ .

$(- 4, - 106), (0, 150)$

Step 9