Calcolo Esempi

$y = x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Somma $3 x^{2} + 2 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Risolvi $3 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 5$

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{3}$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $1$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 - 2$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 + 1 - 5 - 2$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ e $1$ .

$2 - 5 - 2$

Sottrai $5$ da $2$ .

$- 3 - 2$

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- 5$

Calcola per $x = - \frac{5}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $- \frac{5}{3}$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Moltiplica $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Moltiplica $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) - 2$

$5$ e $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} - 2$

Moltiplica $5$ per $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 2$

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{25}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} - 2$

Moltiplica $\frac{25}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} - 2$

Moltiplica $\frac{25}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} - 2$

Moltiplica $\frac{25}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 2$

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1}$

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $25$ per $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $25$ per $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 2 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $- 2$ per $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 54}{27}$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 125$ e $75$ .

$\frac{- 50 + 225 - 54}{27}$

Somma $- 50$ e $225$ .

$\frac{175 - 54}{27}$

Sottrai $54$ da $175$ .

$\frac{121}{27}$

Elenca tutti i punti.

$(1, - 5), (- \frac{5}{3}, \frac{121}{27})$

Passaggio 5