Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} {(1 - x)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(1 - x)}^{2}$ come $(1 - x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} ((1 - x) (1 - x)))$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(1 - x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 (1 - x) - x (1 - x)))$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)))$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)))$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)))$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x \cdot 1 - x (- x)))$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - x (- x)))$

Passaggio 1.1.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))$

Passaggio 1.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))$

Passaggio 1.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x + 1 x^{2}))$

Passaggio 1.1.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - x - x + x^{2}))$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} (1 - 2 x + x^{2}))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - 2 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + 2 x) + (1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + 2 x) + (1 - 2 x + x^{2}) (2 x)$

Passaggio 1.1.5.9

Sposta $2$ alla sinistra di $1 - 2 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 + 2 x) + 2 \cdot ((1 - 2 x + x^{2}) x)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (2 x) + 2 (1 - 2 x + x^{2}) x$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) + 2 x^{2}) x$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 2 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + x^{3} \cdot 2 + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 \cdot x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x + 2 (- 2 x) x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x \cdot x + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 (x \cdot x) + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 (x \cdot x) + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{1 + 1} + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.6.4.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 x^{1 + 2}$

Passaggio 1.1.6.4.12

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x - 4 x^{2} + 2 x^{3}$

Passaggio 1.1.6.4.13

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$

Passaggio 1.1.6.4.14

Somma $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 4 x^{3} + 2 x$

Passaggio 1.1.6.5

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 6 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (1)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1$ più $- 2$ .

$2 x (2 x^{2} + (- 1 - 2) x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2} - 1 x - 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 x ((2 x^{2} - 1 x) - 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x (x (2 x - 1) - (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$2 x ((2 x - 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, \frac{1}{2}, 1$ .

$0, \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 \cdot 1 + 2 (- 1)$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 + 2 (- 1)$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 6 - 2$

Passaggio 5.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $6$ da $- 4$ .

$f' (- 1) = - 10 - 2$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 10$ .

$f' (- 1) = - 12$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{1}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.25$ nell'espressione.

$f' (0.25) = 4 {(0.25)}^{3} - 6 {(0.25)}^{2} + 2 (0.25)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.25$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.25) = 4 \cdot 0.015625 - 6 {(0.25)}^{2} + 2 (0.25)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.015625$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 6 {(0.25)}^{2} + 2 (0.25)$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $0.25$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 6 \cdot 0.0625 + 2 (0.25)$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $0.0625$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 0.375 + 2 (0.25)$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $2$ per $0.25$ .

$f' (0.25) = 0.0625 - 0.375 + 0.5$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $0.375$ da $0.0625$ .

$f' (0.25) = - 0.3125 + 0.5$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 0.3125$ e $0.5$ .

$f' (0.25) = 0.1875$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.1875$ .

$0.1875$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0.25$ la derivata è $0.1875$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \frac{1}{2})$ .

Crescente su $(0, \frac{1}{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.5, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.75$ nell'espressione.

$f' (0.75) = 4 {(0.75)}^{3} - 6 {(0.75)}^{2} + 2 (0.75)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.75$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.75) = 4 \cdot 0.421875 - 6 {(0.75)}^{2} + 2 (0.75)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.421875$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 6 {(0.75)}^{2} + 2 (0.75)$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 6 \cdot 0.5625 + 2 (0.75)$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $0.5625$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 3.375 + 2 (0.75)$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $2$ per $0.75$ .

$f' (0.75) = 1.6875 - 3.375 + 1.5$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $3.375$ da $1.6875$ .

$f' (0.75) = - 1.6875 + 1.5$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 1.6875$ e $1.5$ .

$f' (0.75) = - 0.1875$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.1875$ .

$- 0.1875$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0.75$ la derivata è $- 0.1875$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0.5, 1)$ .

Decrescente su $(\frac{1}{2}, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 2 (2)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 6 {(2)}^{2} + 2 (2)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = 32 - 6 {(2)}^{2} + 2 (2)$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 32 - 6 \cdot 4 + 2 (2)$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f' (2) = 32 - 24 + 2 (2)$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = 32 - 24 + 4$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $24$ da $32$ .

$f' (2) = 8 + 4$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $8$ e $4$ .

$f' (2) = 12$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $12$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \frac{1}{2}), (1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (\frac{1}{2}, 1)$

Passaggio 10