Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 6 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{3}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Scomponi $6 x^{2}$ da $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $6 x^{2}$ da $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Scomponi $6 x^{2}$ da $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Scomponi $6 x^{2}$ da $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Imposta $2 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $2 x + 3$ uguale a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Risolvi $2 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 3$

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{2}$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{3}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.5$ nell'espressione.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 2.5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Moltiplica $12$ per $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Eleva $- 2.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

Moltiplica $18$ per $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

Somma $- 187.5$ e $112.5$ .

$f' (- 2.5) = - 75$

La risposta finale è $- 75$ .

$- 75$

In corrispondenza di $x = - 2.5$ la derivata è $- 75$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{3}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.5, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.75$ nell'espressione.

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 0.75$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Moltiplica $12$ per $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Eleva $- 0.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

Moltiplica $18$ per $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

Somma $- 5.0625$ e $10.125$ .

$f' (- 0.75) = 5.0625$

La risposta finale è $5.0625$ .

$5.0625$

In corrispondenza di $x = - 0.75$ la derivata è $5.0625$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1.5, 0)$ .

Crescente su $(- \frac{3}{2}, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

Moltiplica $18$ per $1$ .

$f' (1) = 12 + 18$

Somma $12$ e $18$ .

$f' (1) = 30$

La risposta finale è $30$ .

$30$

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $30$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Step 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Step 9