Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Scomponi $2$ da $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $12 x^{2}$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

Scomponi $2$ da $2 (6 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

Scomponi $2$ da $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Dividi $6 x^{2} + x + 2$ per $1$ .

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0$ per $2$ .

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sostituisci i valori $a = 6$ , $b = 1$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Sottrai $48$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $- 47$ come $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (47)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Sottrai $48$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $- 47$ come $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (47)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Sottrai $48$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $- 47$ come $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (47)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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