Calcolo Esempi

$\log_{a} (x)$

Step 1

Riscrivi $\log_{a} (x)$ usando la formula del cambiamento di base.

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The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = e$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (x)}{\ln (a)}]$

Step 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Poiché $\ln (x)$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$ rispetto a $a$ è $\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

Riscrivi $\frac{1}{\ln (a)}$ come $\ln^{- 1} (a)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Step 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{- 1}$ e $g (a) = \ln (a)$ .

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Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (a)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\ln (x) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (a)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Step 4

La derivata di $\ln (a)$ rispetto a $a$ è $\frac{1}{a}$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Step 5

Riduci le frazioni.

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$\frac{1}{a}$ e $\ln^{- 2} (a)$ .

$\ln (x) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

Sposta $\ln^{- 2} (a)$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

$\ln (x)$ e $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ .

$- \frac{\ln (x)}{a \ln^{2} (a)}$