Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Scrivi $y = x^{4} - 4 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Step 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Step 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Scomponi $4 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Step 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 3$

Step 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

Step 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 24 \cdot 0$

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$0 + 0$

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Step 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 12 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 48$

Sottrai $48$ da $- 32$ .

$f' (- 2) = - 80$

La risposta finale è $- 80$ .

$- 80$

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, 3)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 12 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$f' (2) = 32 - 48$

Sottrai $48$ da $32$ .

$f' (2) = - 16$

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dall'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 12 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

Moltiplica $4$ per $216$ .

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

Moltiplica $- 12$ per $36$ .

$f' (6) = 864 - 432$

Sottrai $432$ da $864$ .

$f' (6) = 432$

La risposta finale è $432$ .

$432$

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 3$ , allora $x = 3$ è un minimo locale.

$x = 3$ è un minimo locale

Step 12