Calcolo Esempi

$y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 1

Scrivi $y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x)$

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \cdot 1$

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12$

Step 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Step 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (2 x)$

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Scomponi $12 x$ da $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Step 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1, 1$

Step 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(0)}^{2} - 12$

Step 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$36 \cdot 0 - 12$

Moltiplica $36$ per $0$ .

$0 - 12$

Sottrai $12$ da $0$ .

$- 12$

Step 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Step 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}$

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Step 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(- 1)}^{2} - 12$

Step 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$36 \cdot 1 - 12$

Moltiplica $36$ per $1$ .

$36 - 12$

Sottrai $12$ da $36$ .

$24$

Step 15

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Step 16

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 {(- 1)}^{2}$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 3 - 6 \cdot 1$

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6$

Sottrai $6$ da $3$ .

$f (- 1) = - 3$

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Step 17

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(1)}^{2} - 12$

Step 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$36 \cdot 1 - 12$

Moltiplica $36$ per $1$ .

$36 - 12$

Sottrai $12$ da $36$ .

$24$

Step 19

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Step 20

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2}$

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 6 {(1)}^{2}$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 6$

Sottrai $6$ da $3$ .

$f (1) = - 3$

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Step 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

$(- 1, - 3)$ è un minimo locale

$(1, - 3)$ è un minimo locale

Step 22