Calcolo Esempi

$y = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 1

Scrivi $y = 3 x^{3} - 36 x - 4$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 36 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} - 36 + 0$

Somma $9 x^{2} - 36$ e $0$ .

$9 x^{2} - 36$

Step 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 36)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 0$

Somma $18 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 18 x$

Step 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$9 x^{2} - 36 = 0$

Step 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 36 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + 0$

Somma $9 x^{2} - 36$ e $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{2} - 36$ .

$9 x^{2} - 36$

Step 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $9 x^{2} - 36 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$9 x^{2} - 36 = 0$

Somma $36$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} = 36$

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 36$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 36$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{9}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $36$ per $9$ .

$x^{2} = 4$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Step 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2, - 2$

Step 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$18 (2)$

Step 10

Moltiplica $18$ per $2$ .

$36$

Step 11

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Step 12

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 {(2)}^{3} - 36 \cdot 2 - 4$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 3 \cdot 8 - 36 \cdot 2 - 4$

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (2) = 24 - 36 \cdot 2 - 4$

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$f (2) = 24 - 72 - 4$

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $72$ da $24$ .

$f (2) = - 48 - 4$

Sottrai $4$ da $- 48$ .

$f (2) = - 52$

La risposta finale è $- 52$ .

$y = - 52$

Step 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$18 (- 2)$

Step 14

Moltiplica $18$ per $- 2$ .

$- 36$

Step 15

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Step 16

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2 - 4$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 3 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2 - 4$

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$f (- 2) = - 24 - 36 \cdot - 2 - 4$

Moltiplica $- 36$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 24 + 72 - 4$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 24$ e $72$ .

$f (- 2) = 48 - 4$

Sottrai $4$ da $48$ .

$f (- 2) = 44$

La risposta finale è $44$ .

$y = 44$

Step 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$ .

$(2, - 52)$ è un minimo locale

$(- 2, 44)$ è un massimo locale

Step 18