Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3}$

Step 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Somma $9$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x^{2} + 16} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 16}$ come ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

$2$ e $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

$\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Sposta ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Somma $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Riscrivi ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x^{2} + 16}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} \cdot 1$

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

Step 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16}}$

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16}}$

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

Step 3

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2} + 16}}$

Step 4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{9 + 16}}$

Somma $9$ e $16$ .

$\frac{3}{\sqrt{25}}$

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{5^{2}}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{5}$

Step 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{5}$

Forma decimale:

$0.6$