Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x}$

Step 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite.

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Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

Dividi $2 \cos (2 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Step 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Step 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0)$

Step 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 \cos (0)$

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$