Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Step 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $x^{2 \ln (x)}$ come $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

Espandi $\ln (x^{2 \ln (x)})$ spostando $2 \ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Step 2

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Step 3

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Step 4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Step 5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Step 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 \ln^{2} (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Step 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Step 8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 10

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Step 11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{x}$ e $4$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

$\frac{4}{x}$ e $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

$e^{2 \ln^{2} (x)}$ e $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Step 12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Moltiplica $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Riordina $\ln (x)$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Semplifica $4 \cdot \ln (x)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Riordina i fattori in $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$