Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 72 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

Moltiplica $2$ per $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 144 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

Scomponi $4 x$ da $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ vera.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

Moltiplica $4$ per $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

Moltiplica $- 144$ per $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

Somma $- 1372$ e $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

La risposta finale è $- 364$ .

$- 364$

In corrispondenza di $x = - 7$ la derivata è $- 364$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 6)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 6)$ perché $f' (x) < 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 6, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

Moltiplica $4$ per $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

Moltiplica $- 144$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

Somma $- 108$ e $432$ .

$f' (- 3) = 324$

La risposta finale è $324$ .

$324$

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $324$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 6, 0)$ .

Crescente su $(- 6, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

Moltiplica $- 144$ per $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

Sottrai $432$ da $108$ .

$f' (3) = - 324$

La risposta finale è $- 324$ .

$- 324$

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- 324$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 6)$ .

Decrescente su $(0, 6)$ perché $f' (x) < 0$

Step 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

Moltiplica $4$ per $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

Moltiplica $- 144$ per $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

Sottrai $1008$ da $1372$ .

$f' (7) = 364$

La risposta finale è $364$ .

$364$

In corrispondenza di $x = 7$ la derivata è $364$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(6, \infty)$ .

Crescente su $(6, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Step 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 6, 0), (6, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10