Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Step 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 30 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

Moltiplica $2$ per $- 30$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} - 60 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \cdot 1$

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{2} - 60$ .

$60 x^{2} - 60$

Step 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $60 x^{2} - 60 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$60 x^{2} - 60 = 0$

Somma $60$ a entrambi i lati dell'equazione.

$60 x^{2} = 60$

Dividi per $60$ ciascun termine in $60 x^{2} = 60$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $60$ ciascun termine in $60 x^{2} = 60$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $60$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{60}{60}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $60$ per $60$ .

$x^{2} = 1$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Step 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $1$ in $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 5 {(1)}^{4} - 30 {(1)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 30 {(1)}^{2}$

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (1) = 5 - 30 {(1)}^{2}$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 5 - 30 \cdot 1$

Moltiplica $- 30$ per $1$ .

$f (1) = 5 - 30$

Sottrai $30$ da $5$ .

$f (1) = - 25$

La risposta finale è $- 25$ .

$- 25$

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ è $(1, - 25)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, - 25)$

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 30 {(- 1)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 - 30 {(- 1)}^{2}$

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30 {(- 1)}^{2}$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 5 - 30 \cdot 1$

Moltiplica $- 30$ per $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30$

Sottrai $30$ da $5$ .

$f (- 1) = - 25$

La risposta finale è $- 25$ .

$- 25$

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ è $(- 1, - 25)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, - 25)$

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, - 25), (- 1, - 25)$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{2} - 60$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

Moltiplica $60$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 72.6 - 60$

Sottrai $60$ da $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = 12.6$

La risposta finale è $12.6$ .

$12.6$

In corrispondenza di $- 1.1$ , la derivata seconda è $12.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 60$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 60$

Moltiplica $60$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 60$

Sottrai $60$ da $0$ .

$f'' (0) = - 60$

La risposta finale è $- 60$ .

$- 60$

Per $0$ , la derivata seconda è $- 60$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 1, 1)$ .

Decrescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = 60 {(1.1)}^{2} - 60$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

Moltiplica $60$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = 72.6 - 60$

Sottrai $60$ da $72.6$ .

$f'' (1.1) = 12.6$

La risposta finale è $12.6$ .

$12.6$

In corrispondenza di $1.1$ , la derivata seconda è $12.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 25), (1, - 25)$ .

$(- 1, - 25), (1, - 25)$

Step 9