Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{1}{5}$ e $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $5$ da $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Dividi $- 1$ per $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{1}{5}$ e $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $5$ da $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Dividi $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{4} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} = 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1$

Step 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1$

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Step 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Sottrai $5$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

La risposta finale è $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 1$

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Step 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Somma $- 1$ e $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

La risposta finale è $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ è un minimo locale

$(- 1, \frac{4}{5})$ è un massimo locale

Step 17