Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 128 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

Moltiplica $2$ per $- 128$ .

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4096$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4096$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 256 x + 0$

Somma $4 x^{3} - 256 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 256 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 256$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 256 x$ rispetto a $x$ è $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} x$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \cdot 1$

Moltiplica $- 256$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 128 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4096)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} (4096)$

Moltiplica $2$ per $- 128$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} (4096)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4096$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4096$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + 0$

Somma $4 x^{3} - 256 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 256 x$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 256 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 256 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

Scomponi $4 x$ da $- 256 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ .

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 8$ .

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ vera.

$x = 0, - 8, 8$

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 8, 8$

Step 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(0)}^{2} - 256$

Step 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 - 256$

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 256$

Sottrai $256$ da $0$ .

$- 256$

Step 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Step 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 128 \cdot 0 + 4096$

Moltiplica $- 128$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4096$

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 4096$

Somma $0$ e $4096$ .

$f (0) = 4096$

La risposta finale è $4096$ .

$y = 4096$

Step 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- 8)}^{2} - 256$

Step 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Moltiplica $12$ per $64$ .

$768 - 256$

Sottrai $256$ da $768$ .

$512$

Step 14

$x = - 8$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 8$ è un minimo locale

Step 15

Trova il valore di y quando $x = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = {(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 8$ alla potenza di $4$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Moltiplica $- 128$ per $64$ .

$f (- 8) = 4096 - 8192 + 4096$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $8192$ da $4096$ .

$f (- 8) = - 4096 + 4096$

Somma $- 4096$ e $4096$ .

$f (- 8) = 0$

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Step 16

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(8)}^{2} - 256$

Step 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Moltiplica $12$ per $64$ .

$768 - 256$

Sottrai $256$ da $768$ .

$512$

Step 18

$x = 8$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 8$ è un minimo locale

Step 19

Trova il valore di y quando $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = {(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$f (8) = 4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Moltiplica $- 128$ per $64$ .

$f (8) = 4096 - 8192 + 4096$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $8192$ da $4096$ .

$f (8) = - 4096 + 4096$

Somma $- 4096$ e $4096$ .

$f (8) = 0$

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Step 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ .

$(0, 4096)$ è un massimo locale

$(- 8, 0)$ è un minimo locale

$(8, 0)$ è un minimo locale

Step 21