Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x}$

Step 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite del numeratore.

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Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Semplifica la risposta.

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Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

Dividi $1 + \cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

Step 2

Calcola il limite.

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Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$1 + \cos (0)$

Step 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1 + 1$

Somma $1$ e $1$ .

$2$