Calcolo Esempi

$8 \cos (x) \sin (y) = 6$

Step 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (8 \cos (x) \sin (y)) = \frac{d}{d x} (6)$

Step 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (x) \sin (y)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (y)$ .

$8 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$8 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$8 (\cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$8 (\cos (x) (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$8 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) (- \sin (x)))$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$8 (\cos (x) \cos (y) y') + 8 (\sin (y) (- \sin (x)))$

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (y) \sin (x)$

Riordina i termini.

$8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (x) \sin (y)$

Step 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Step 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (x) \sin (y) = 0$

Step 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Riordina i fattori in $8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (x) \sin (y)$ .

$8 y' \cos (x) \cos (y) - 8 \sin (x) \sin (y) = 0$

Somma $8 \sin (x) \sin (y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 y' \cos (x) \cos (y) = 8 \sin (x) \sin (y)$

Dividi per $8 \cos (x) \cos (y)$ ciascun termine in $8 y' \cos (x) \cos (y) = 8 \sin (x) \sin (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $8 \cos (x) \cos (y)$ ciascun termine in $8 y' \cos (x) \cos (y) = 8 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{8 y' \cos (x) \cos (y)}{8 \cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y' \cos (x) \cos (y)}{8 \cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Elimina il fattore comune di $\cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Frazioni separate.

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

Converti da $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$y' = \tan (y) \tan (x)$

Step 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (y) \tan (x)$