Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Step 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Espandi $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Scomponi $2 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x^{2} + 1$ da $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Step 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Step 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 1}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 1}$

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Dividi $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

La risposta finale è $0$ .

$0$

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Sostituisci $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

Somma $3$ e $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

La risposta finale è $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Il punto trovato sostituendo $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ è $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Sostituisci $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

Somma $3$ e $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$

La risposta finale è $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$

Il punto trovato sostituendo $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ è $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.8320508$ nell'espressione.

$f'' (- 1.8320508) = \frac{2 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 3.66410161 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Moltiplica $- 3.66410161$ per ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1.8320508$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Somma $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

Eleva $4.35641016$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{82.67730033}$

Dividi $- 1.30592304$ per $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 0.01579542$

La risposta finale è $- 0.01579542$ .

$- 0.01579542$

Per $- 1.8320508$ , la derivata seconda è $- 0.01579542$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \sqrt{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.8660254$ nell'espressione.

$f'' (- 0.8660254) = \frac{2 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{- 1.7320508 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Moltiplica $- 1.7320508$ per ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 0.8660254$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Somma $0.75$ e $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{1.75}^{3}}$

Eleva $1.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{5.359375}$

Dividi $3.89711431$ per $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = 0.72715835$

La risposta finale è $0.72715835$ .

$0.72715835$

In corrispondenza di $- 0.8660254$ , la derivata seconda è $0.72715835$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Crescente su $(- \sqrt{3}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0.8660254$ nell'espressione.

$f'' (0.8660254) = \frac{2 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{1.7320508 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Moltiplica $1.7320508$ per ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $0.8660254$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Somma $0.75$ e $1$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{1.75}^{3}}$

Eleva $1.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{5.359375}$

Dividi $- 3.89711431$ per $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = - 0.72715835$

La risposta finale è $- 0.72715835$ .

$- 0.72715835$

Per $0.8660254$ , la derivata seconda è $- 0.72715835$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(0, \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Step 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1.8320508$ nell'espressione.

$f'' (1.8320508) = \frac{2 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{3.66410161 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Moltiplica $3.66410161$ per ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $1.8320508$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Somma $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

Eleva $4.35641016$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{82.67730033}$

Dividi $1.30592304$ per $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = 0.01579542$

La risposta finale è $0.01579542$ .

$0.01579542$

In corrispondenza di $1.8320508$ , la derivata seconda è $0.01579542$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\sqrt{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ .

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Step 10