Calcolo Esempi

$\int x^{2} \ln (x) d x$

Step 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Step 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

$\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Step 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Step 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Step 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Step 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

$\frac{\ln (x)}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

$x^{3}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$