Algebra Esempi

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Step 1

Raggruppa i termini.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Step 2

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} (x) - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4) + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Step 3

Scomponi $2 x^{4} + 115 x - 52$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 q = \pm 1, \pm 2$

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Sostituisci $- 4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $- 4$ nel polinomio.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Moltiplica $2$ per $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Moltiplica $115$ per $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Sottrai $460$ da $512$ .

$52 - 52$

Sottrai $52$ da $52$ .

$0$

Poiché $- 4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Dividi $2 x^{4} + 115 x - 52$ per $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{4} + 8 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $32 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $32 x^{2} + 128 x$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 13 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 13 x - 52$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Scrivi $2 x^{4} + 115 x - 52$ come insieme di fattori.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 4

Scomponi $x + 4$ da $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x + 4$ da $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Scomponi $x + 4$ da $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 5

Sottrai $8 x^{2}$ da $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 13 q = \pm 1, \pm 2$

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Moltiplica $2$ per $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Moltiplica $- 13$ per $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Sottrai $3.25$ da $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Moltiplica $32$ per $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Somma $- 3$ e $16$ .

$13 - 13$

Sottrai $13$ da $13$ .

$0$

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Dividi $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ per $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $26 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $26 x - 13$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Scrivi $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ come insieme di fattori.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13))$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)$