Algebra Esempi

$\frac{8}{x^{2} - 4}$

Step 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{8}{x^{2} - 2^{2}}$

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Dividi $8$ per $1$ .

$8 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$8 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Dividi $(A) (x - 2)$ per $1$ .

$8 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Applica la proprietà distributiva.

$8 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$8 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$8 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Dividi $(B) (x + 2)$ per $1$ .

$8 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Applica la proprietà distributiva.

$8 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$8 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Sposta $- 2 A$ .

$8 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Step 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$8 = - 2 A + 2 B$

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

Step 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$8 = - 2 A + 2 B$

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $8 = - 2 A + 2 B$ con $- B$ .

$8 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica $- 2 (- B) + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$8 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

Somma $2 B$ e $2 B$ .

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

Risolvi per $B$ in $8 = 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $4 B = 8$ .

$4 B = 8$

$A = - B$

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 8$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $8$ per $4$ .

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $2$ .

$A = - (2)$

$B = 2$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 2, B = 2$

Step 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- 2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}$