Algebra Esempi

$\sqrt{x}$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

$x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Step 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{1}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{1}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Step 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Step 11