Algebra Esempi

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} - x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Somma $3 x^{2} + 2 x - 1$ e $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Somma $6 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} - x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Somma $3 x^{2} + 2 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 2 x - 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

Riscrivi l'espressione.

$2 + 2$

Somma $2$ e $2$ .

$4$

Step 10

$x = \frac{1}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{3}$ è un minimo locale

Step 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

Somma $1$ e $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

Sottrai $9$ da $4$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

Sottrai $27$ da $- 5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

La risposta finale è $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- 1) + 2$

Step 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 + 2$

Somma $- 6$ e $2$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Step 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

Somma $0$ e $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (- 1) = 0$

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Step 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ è un minimo locale

$(- 1, 0)$ è un massimo locale

Step 17