Algebra Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & x & 4 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Step 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array}]$

Step 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tocca per altri passaggi...

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{11} = | \begin{array}{c} 0 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $1 s t$ column by its cofactor and add.

$a_{11} = 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} | - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$a_{11} = 0 + 0 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} | - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$a_{11} = 0 + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4)$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4)$

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (- x - 1 \cdot 4)$

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (- x - 4)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Combina i termini opposti in $0 + 0 - (- x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $0$ e $0$ .

$a_{11} = 0 - (- x - 4)$

Sottrai $- x - 4$ da $0$ .

$a_{11} = - (- x - 4)$

Applica la proprietà distributiva.

$a_{11} = - - x - - 4$

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{11} = 1 x - - 4$

Moltiplica $x$ per $1$ .

$a_{11} = x - - 4$

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$a_{11} = x + 4$

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{12} = | \begin{array}{c} 4 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $1 s t$ column by its cofactor and add.

$a_{12} = 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} | - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$a_{12} = 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 (1 \cdot 0 - 2 \cdot - 1) + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $0$ per $1$ .

$a_{12} = 4 (0 - 2 \cdot - 1) + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$a_{12} = 4 (0 + 2) + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Somma $0$ e $2$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4)$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4)$

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (- x - 1 \cdot 4)$

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (- x - 4)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Somma $4 \cdot 2$ e $0$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 - (- x - 4)$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $2$ .

$a_{12} = 8 - (- x - 4)$

Applica la proprietà distributiva.

$a_{12} = 8 - - x - - 4$

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{12} = 8 + 1 x - - 4$

Moltiplica $x$ per $1$ .

$a_{12} = 8 + x - - 4$

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$a_{12} = 8 + x + 4$

Somma $8$ e $4$ .

$a_{12} = x + 12$

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{13} = | \begin{array}{c} 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{13} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{13} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (4 \cdot - 1 - - 0)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 - - 0)$

Moltiplica $- - 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 - 0)$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 + 0)$

Somma $- 4$ e $0$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 \cdot - 4$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a_{13} = 0 + 0 - 4$

Somma $0$ e $0$ .

$a_{13} = 0 - 4$

Sottrai $4$ da $0$ .

$a_{13} = - 4$

Calculate the minor for element $a_{14}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{14} = | \begin{array}{c} 4 & 0 & x \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{14} = 0 | \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{14} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{14} = 0 + 0 - | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (4 \cdot - 1 - - 0)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (- 4 - - 0)$

Moltiplica $- - 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (- 4 - 0)$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (- 4 + 0)$

Somma $- 4$ e $0$ .

$a_{14} = 0 + 0 - - 4$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$a_{14} = 0 + 0 + 4$

Somma $0$ e $0$ .

$a_{14} = 0 + 4$

Somma $0$ e $4$ .

$a_{14} = 4$

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{21} = | \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{21} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{21} = 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{21} = 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Moltiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 - - 3) + 0$

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 + 3) + 0$

Somma $- 2$ e $3$ .

$a_{21} = 0 + 1 \cdot 1 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $1$ per $1$ .

$a_{21} = 0 + 1 + 0$

Somma $0$ e $1$ .

$a_{21} = 1 + 0$

Somma $1$ e $0$ .

$a_{21} = 1$

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{22} = | \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{22} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{22} = 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{22} = 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 0 + 1 (2 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$a_{22} = 0 + 1 (4 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Moltiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$a_{22} = 0 + 1 (4 - - 3) + 0$

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a_{22} = 0 + 1 (4 + 3) + 0$

Somma $4$ e $3$ .

$a_{22} = 0 + 1 \cdot 7 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $7$ per $1$ .

$a_{22} = 0 + 7 + 0$

Somma $0$ e $7$ .

$a_{22} = 7 + 0$

Somma $7$ e $0$ .

$a_{22} = 7$

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{23} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{23} = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{23} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (2 \cdot - 1 - - - 1)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - - - 1)$

Moltiplica $- - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1)$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - 1)$

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 \cdot - 3$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$a_{23} = 0 + 0 - 3$

Somma $0$ e $0$ .

$a_{23} = 0 - 3$

Sottrai $3$ da $0$ .

$a_{23} = - 3$

Calculate the minor for element $a_{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{24} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{24} = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{24} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{24} = 0 + 0 - | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (2 \cdot - 1 - - - 1)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (- 2 - - - 1)$

Moltiplica $- - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (- 2 - 1 \cdot 1)$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (- 2 - 1)$

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$a_{24} = 0 + 0 - - 3$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a_{24} = 0 + 0 + 3$

Somma $0$ e $0$ .

$a_{24} = 0 + 3$

Somma $0$ e $3$ .

$a_{24} = 3$

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{31} = | \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & x & 4 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{31} = 0 | \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & x \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{31} = 0 - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & x \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & x \end{array} |$ .

$a_{31} = 0 - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Moltiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 2 - - 3) + 0$

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 2 + 3) + 0$

Somma $- 2$ e $3$ .

$a_{31} = 0 - 4 \cdot 1 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a_{31} = 0 - 4 + 0$

Sottrai $4$ da $0$ .

$a_{31} = - 4 + 0$

Somma $- 4$ e $0$ .

$a_{31} = - 4$

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{32} = | \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 4 & x & 4 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{32} = 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{32} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$ .

$a_{32} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 0 - 4 (2 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$a_{32} = 0 - 4 (4 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Moltiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$a_{32} = 0 - 4 (4 - - 3) + 0$

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a_{32} = 0 - 4 (4 + 3) + 0$

Somma $4$ e $3$ .

$a_{32} = 0 - 4 \cdot 7 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$a_{32} = 0 - 28 + 0$

Sottrai $28$ da $0$ .

$a_{32} = - 28 + 0$

Somma $- 28$ e $0$ .

$a_{32} = - 28$

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{33} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{33} = 0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$a_{33} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$ .

$a_{33} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 0 - 4 (2 \cdot - 1 - - - 1) + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - - - 1) + 0$

Moltiplica $- - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - 1) + 0$

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$a_{33} = 0 - 4 \cdot - 3 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$a_{33} = 0 + 12 + 0$

Somma $0$ e $12$ .

$a_{33} = 12 + 0$

Somma $12$ e $0$ .

$a_{33} = 12$

Calculate the minor for element $a_{34}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{34} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 0 & x \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{34} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{34} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{34} = - 4 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a_{34} = - 4 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$a_{34} = - 4 (- 2 - - 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a_{34} = - 4 (- 2 + 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Somma $- 2$ e $3$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (2 \cdot - 1 - - - 1)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - - - 1)$

Moltiplica $- - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - 1 \cdot 1)$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - 1)$

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x \cdot - 3$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 4 \cdot 1$ e $0$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 - x \cdot - 3$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a_{34} = - 4 - x \cdot - 3$

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$a_{34} = - 4 + 3 x$

Calculate the minor for element $a_{41}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{41} = | \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $1 s t$ column by its cofactor and add.

$a_{41} = - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

$a_{41} = - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$ .

$a_{41} = - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{41} = - (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$a_{41} = - (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$a_{41} = - (- x - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a_{41} = - (- x - 4) + 0 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Combina i termini opposti in $- (- x - 4) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $- (- x - 4)$ e $0$ .

$a_{41} = - (- x - 4) + 0$

Somma $- (- x - 4)$ e $0$ .

$a_{41} = - (- x - 4)$

Applica la proprietà distributiva.

$a_{41} = - - x - - 4$

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{41} = 1 x - - 4$

Moltiplica $x$ per $1$ .

$a_{41} = x - - 4$

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$a_{41} = x + 4$

Calculate the minor for element $a_{42}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{42} = | \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 4 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $1 s t$ row by its cofactor and add.

$a_{42} = 2 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{42} = 2 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{42} = 2 (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$a_{42} = 2 (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$a_{42} = 2 (- x - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (4 \cdot - 1 + 0 \cdot 4) + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (- 4 + 0 \cdot 4) + 0$

Moltiplica $0$ per $4$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (- 4 + 0) + 0$

Somma $- 4$ e $0$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4$ e $0$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$a_{42} = 2 (- x) + 2 \cdot - 4 - 3 \cdot - 4$

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a_{42} = - 2 x + 2 \cdot - 4 - 3 \cdot - 4$

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$a_{42} = - 2 x - 8 - 3 \cdot - 4$

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$a_{42} = - 2 x - 8 + 12$

Somma $- 8$ e $12$ .

$a_{42} = - 2 x + 4$

Calculate the minor for element $a_{43}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{43} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $2 n d$ column by its cofactor and add.

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{43} = 1 (4 \cdot - 1 + 0 \cdot 4) + 0 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$a_{43} = 1 (- 4 + 0 \cdot 4) + 0 + 0$

Moltiplica $0$ per $4$ .

$a_{43} = 1 (- 4 + 0) + 0 + 0$

Somma $- 4$ e $0$ .

$a_{43} = 1 \cdot - 4 + 0 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a_{43} = - 4 + 0 + 0$

Somma $- 4$ e $0$ .

$a_{43} = - 4 + 0$

Somma $- 4$ e $0$ .

$a_{43} = - 4$

Calculate the minor for element $a_{44}$ .

Tocca per altri passaggi...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{44} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 0 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Multiply every element in the $2 n d$ column by its cofactor and add.

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$ .

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0$

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{44} = 1 (4 \cdot 1 + 0 x) + 0 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $1$ .

$a_{44} = 1 (4 + 0 x) + 0 + 0$

Moltiplica $0$ per $x$ .

$a_{44} = 1 (4 + 0) + 0 + 0$

Somma $4$ e $0$ .

$a_{44} = 1 \cdot 4 + 0 + 0$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $1$ .

$a_{44} = 4 + 0 + 0$

Somma $4$ e $0$ .

$a_{44} = 4 + 0$

Somma $4$ e $0$ .

$a_{44} = 4$

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} x + 4 & - (x + 12) & - 4 & - 4 \\ - 1 & 7 & 3 & 3 \\ - 4 & 28 & 12 & - (- 4 + 3 x) \\ - (x + 4) & - 2 x + 4 & 4 & 4 \end{array}]$