Algebra Esempi

$e^{x} + e^{- 5 x}$

Step 1

Scrivi $e^{x} + e^{- 5 x}$ come funzione.

$f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$

Step 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 5 x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Step 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 5 e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 5 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$f'' (x) = e^{x} + 25 e^{- 5 x}$

Riordina i termini.

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x} + e^{x}$

Step 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$

Step 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 5 x})$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- 5 x})$

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 5 x$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} - 5 e^{- 5 x}$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Step 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$

Sposta $- 5 e^{- 5 x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$e^{x} = 5 e^{- 5 x}$

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5 e^{- 5 x})$

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (5 e^{- 5 x})$

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $\ln (5 e^{- 5 x})$ come $\ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$x = \ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$

Espandi $\ln (e^{- 5 x})$ spostando $- 5 x$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (5) - 5 x \ln (e)$

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x = \ln (5) - 5 x \cdot 1$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$x = \ln (5) - 5 x$

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $5 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + 5 x = \ln (5)$

Somma $x$ e $5 x$ .

$6 x = \ln (5)$

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \ln (5)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \ln (5)$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\ln (5)}{6}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\ln (5)}{6}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{6}$

Step 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\ln (5)}{6}$

Step 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\ln (5)}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$25 e^{- 5 \frac{\ln (5)}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Step 10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $\frac{\ln (5)}{6}$ come $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$25 e^{- 5 (\frac{1}{6} \ln (5))} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Semplifica $\frac{1}{6} \ln (5)$ spostando $\frac{1}{6}$ all'interno del logaritmo.

$25 e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Semplifica $- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})$ spostando $- 5$ all'interno del logaritmo.

$25 e^{\ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5})} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$25 {(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \cdot 5^{\frac{1}{6} \cdot - 5} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

$\frac{1}{6}$ e $- 5$ .

$25 \cdot 5^{\frac{- 5}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$25 \cdot 5^{- \frac{5}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 \cdot \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

$25$ e $\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Riscrivi $\frac{\ln (5)}{6}$ come $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{1}{6} \ln (5)}$

Semplifica $\frac{1}{6} \ln (5)$ spostando $\frac{1}{6}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\ln (5^{\frac{1}{6}})}$

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + 5^{\frac{1}{6}}$

Step 11

$x = \frac{\ln (5)}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{\ln (5)}{6}$ è un minimo locale

Step 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{\ln (5)}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Simplify $\frac{\ln (5)}{6}$ to substitute in $f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $\frac{\ln (5)}{6}$ come $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot \ln (5)$

Semplifica $\frac{1}{6} \ln (5)$ spostando $\frac{1}{6}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln (5^{\frac{1}{6}})$

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (5^{\frac{1}{6}})$ nell'espressione.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = e^{\ln (5^{\frac{1}{6}})} + e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Semplifica $- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})$ spostando $- 5$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + e^{\ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5})}$

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + {(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{\frac{1}{6} \cdot - 5}$

$\frac{1}{6}$ e $- 5$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{\frac{- 5}{6}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{- \frac{5}{6}}$

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$

La risposta finale è $5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$ .

$y = 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$

Step 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$ .

$(\frac{\ln (5)}{6}, 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}})$ è un minimo locale

Step 14