Algebra Esempi

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Somma $9 x^{2} - 4 x - 4$ e $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 4 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 + 0$

Somma $18 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 18 x - 4$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Somma $9 x^{2} - 4 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{2} - 4 x - 4$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sostituisci i valori $a = 9$ , $b = - 4$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 4)}}{2 \cdot 9}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $- 36$ per $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Somma $16$ e $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Riscrivi $160$ come $4^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $16$ da $160$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $- 36$ per $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Somma $16$ e $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Riscrivi $160$ come $4^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $16$ da $160$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $- 36$ per $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Somma $16$ e $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Riscrivi $160$ come $4^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $16$ da $160$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

Step 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$18 (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) - 4$

Step 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $9$ da $18$ .

$9 (2) \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 2 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Riscrivi l'espressione.

$2 (2 + 2 \sqrt{10}) - 4$

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) - 4$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 2 (2 \sqrt{10}) - 4$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 4 \sqrt{10} - 4$

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $4$ da $4$ .

$0 + 4 \sqrt{10}$

Somma $0$ e $4 \sqrt{10}$ .

$4 \sqrt{10}$

Step 10

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ è un minimo locale

Step 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{3} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{729}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $729$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 (243)}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $2^{2}$ per $2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot ((2 \cdot 2^{2}) \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{1 + 2} \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $1$ e $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{3} \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (8 \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 {(2 \sqrt{10})}^{2} + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (2^{2} {\sqrt{10}}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 {\sqrt{10}}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 4 \cdot 10 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Calcola l'esponente.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $6 (4 \cdot 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $10$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 40 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $6$ per $40$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 2^{3} {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{3}$ come ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{10^{3}}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{1000}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi $1000$ come $10^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $100$ da $1000$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{100 (10)}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{10^{2} \cdot 10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 (10 \sqrt{10})}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $10$ per $8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $8$ e $240$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 24 \sqrt{10} + 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $24 \sqrt{10}$ e $80 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}}{9^{2}} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}$ come $(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Espandi $(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 (2 + 2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Calcola l'esponente.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $4$ per $10$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 40}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $4$ e $40$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $4 \sqrt{10}$ e $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 + 8 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$- 2$ e $\frac{44 + 8 \sqrt{10}}{81}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} + \frac{- 2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{(2) (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$- 4$ e $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} + \frac{- 4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - (\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Moltiplica $\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Moltiplica $\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - (\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} \cdot \frac{27}{27}) - 3$

Moltiplica $\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} - 3$

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1}$

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Riordina i fattori di $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{3 \cdot 81} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $3$ per $81$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $9$ per $27$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{243} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 2 \cdot 44 - 2 (8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 2$ per $44$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 88 - 2 (8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 88 - 16 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 88 \cdot 3 - 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 88$ per $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 4 \cdot 2 - 4 (2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 8 - 4 (2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 8 - 8 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 8 \cdot 27 - 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 8$ per $27$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $27$ per $- 8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 3$ per $243$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $264$ da $248$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 16 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $216$ da $- 16$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 232 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Sottrai $729$ da $- 232$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10}}{243}$

Sottrai $48 \sqrt{10}$ da $104 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 56 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10}}{243}$

Sottrai $216 \sqrt{10}$ da $56 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Riscrivi $- 961$ come $- 1 (961)$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Scomponi $- 1$ da $- 160 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - (160 \sqrt{10})}{243}$

Scomponi $- 1$ da $- 1 (961) - (160 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 (961 + 160 \sqrt{10})}{243}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

La risposta finale è $- \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$ .

$y = - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Step 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$18 (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) - 4$

Step 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $9$ da $18$ .

$9 (2) \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 2 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Riscrivi l'espressione.

$2 (2 - 2 \sqrt{10}) - 4$

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 4$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 4$

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$4 - 4 \sqrt{10} - 4$

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $4$ da $4$ .

$0 - 4 \sqrt{10}$

Sottrai $4 \sqrt{10}$ da $0$ .

$- 4 \sqrt{10}$

Step 14

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ è un massimo locale

Step 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{3} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{729}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $729$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 (243)}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (4 (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 12 (- 2 \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 {(- 2 \sqrt{10})}^{2} + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{10}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 {\sqrt{10}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 4 \cdot 10 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Calcola l'esponente.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $6 (4 \cdot 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $10$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 40 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $6$ per $40$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{3}$ come ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{10^{3}}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{1000}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi $1000$ come $10^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $100$ da $1000$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{100 (10)}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{10^{2} \cdot 10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 (10 \sqrt{10})}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $10$ per $- 8$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $8$ e $240$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 24 \sqrt{10} - 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Sottrai $80 \sqrt{10}$ da $- 24 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}}{9^{2}} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}$ come $(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Espandi $(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 (2 - 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $- 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Calcola l'esponente.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Moltiplica $4$ per $10$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 40}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Somma $4$ e $40$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Sottrai $4 \sqrt{10}$ da $- 4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 - 8 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$- 2$ e $\frac{44 - 8 \sqrt{10}}{81}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} + \frac{- 2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{(2) (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

$- 4$ e $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} + \frac{- 4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - (\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Moltiplica $\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Moltiplica $\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - (\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} \cdot \frac{27}{27}) - 3$

Moltiplica $\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} - 3$

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1}$

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Riordina i fattori di $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{3 \cdot 81} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $3$ per $81$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $9$ per $27$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{243} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 2 \cdot 44 - 2 (- 8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 2$ per $44$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 88 - 2 (- 8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 88 + 16 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 88 \cdot 3 + 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 88$ per $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 4 \cdot 2 - 4 (- 2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 8 - 4 (- 2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 8 + 8 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 8 \cdot 27 + 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 8$ per $27$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $27$ per $8$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 3 \cdot 243}{243}$

Moltiplica $- 3$ per $243$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $264$ da $248$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 16 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $216$ da $- 16$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 232 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Sottrai $729$ da $- 232$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10}}{243}$

Somma $- 104 \sqrt{10}$ e $48 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 56 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10}}{243}$

Somma $- 56 \sqrt{10}$ e $216 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Riscrivi $- 961$ come $- 1 (961)$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Scomponi $- 1$ da $160 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - (- 160 \sqrt{10})}{243}$

Scomponi $- 1$ da $- 1 (961) - (- 160 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 (961 - 160 \sqrt{10})}{243}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

La risposta finale è $- \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$ .

$y = - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Step 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ .

$(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243})$ è un minimo locale

$(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}, - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243})$ è un massimo locale

Step 17