Algebra Esempi

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(6, 0)$

Step 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Somma $25$ e $144$ .

$\sqrt{169}$

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$13$

Step 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(6, 5)$

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(6, - 5)$

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(6, 13)$

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(6, - 13)$

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Somma $25$ e $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{12^{2}}{13}$

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Semplifica $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ e $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

$\frac{5}{12}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $6$ da $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

$\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Semplifica $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ e $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

$x$ e $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{12}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Scomponi $6$ da $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

$\frac{- 5}{2}$ e $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(6, 0)$

Vertici: $(6, 5), (6, - 5)$

Fuochi: $(6, 13), (6, - 13)$

Eccentricità: $\frac{13}{5}$

Asse focale: $\frac{144}{13}$

Asintoti: $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15