Algebra Esempi

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 \geq 0$

Step 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 = 0$

Step 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} - 7 x^{2}) - x + 7 = 0$

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x - 7) - (x - 7) = 0$

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 7$ .

$(x - 7) (x^{2} - 1) = 0$

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x - 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Step 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Step 4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Step 5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Step 6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Step 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 7, - 1, 1$

Step 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Step 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{3} - 7 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 7 \geq 0$

Il lato sinistro di $- 165$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2} - (0) + 7 \geq 0$

Il lato sinistro di $7$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{3} - 7 {(4)}^{2} - (4) + 7 \geq 0$

Il lato sinistro di $- 45$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

${(10)}^{3} - 7 {(10)}^{2} - (10) + 7 \geq 0$

Il lato sinistro di $297$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

Step 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 \leq x \leq 1$ o $x \geq 7$

Step 11

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[- 1, 1] \cup [7, \infty)$

Step 12