Algebra Esempi

$\ln (2 x)$

Step 1

Scambia le variabili.

$x = \ln (2 y)$

Step 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $\ln (2 y) = x$ .

$\ln (2 y) = x$

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (2 y)} = e^{x}$

Riscrivi $\ln (2 y) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 2 y$

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $2 y = e^{x}$ .

$2 y = e^{x}$

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = e^{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = e^{x}$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$

Step 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Calcola $f^{- 1} (\ln (2 x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = x$

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Calcola $f (\frac{e^{x}}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (e^{x})$

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \ln (e)$

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x$

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$