Trigonometria Esempi

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) - 1)$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Passaggio 1.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Passaggio 1.3

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) - 1)$

Passaggio 1.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Passaggio 1.5

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) - 1)$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \sin^{2} (x) ({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- \sin^{2} (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Passaggio 4

Moltiplica $- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Passaggio 4.1

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Passaggio 5

Moltiplica $- \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x)$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2} + \sin^{2} (x)$

Passaggio 6.2

Riordina $- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sin (x)$ e $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 8.1.2

Frazioni separate.

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 8.1.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 8.1.4

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 8.2.2

Frazioni separate.

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Passaggio 8.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Passaggio 8.2.4

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 9

Espandi $(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10

Semplifica i termini.

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Passaggio 10.1

Combina i termini opposti in $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

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Passaggio 10.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\sin (x) (- \sin (x) \tan (x))$ e $\sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10.1.2

Somma $- \sin (x) \sin (x) \tan (x)$ e $\sin (x) \sin (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10.1.3

Somma $\sin (x) \sin (x)$ e $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 10.2.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Passaggio 10.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Passaggio 10.2.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Passaggio 10.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Passaggio 10.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 10.2.4.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Passaggio 10.2.4.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Passaggio 10.2.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 10.2.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

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