Trigonometria Esempi

$32 + 32 i \sqrt{3}$ , $n = 3$

Passaggio 1

Calcola la distanza da $(a, b)$ all'origine usando la formula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Sposta $32$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Applica la regola del prodotto a $32 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 2.2.5

Calcola l'esponente.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Passaggio 2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $1024$ per $3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Passaggio 2.3.2

Somma $1024$ e $3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $4096$ come $64^{2}$ .

$r = \sqrt{64^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = 64$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Passaggio 4

Semplifica $\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Passaggio 4.1.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Passaggio 4.2

$\sqrt{3}$ corrisponde approssimativamente a $1.7320508$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Trova il quadrante.

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Passaggio 5.1

Sposta $32$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Passaggio 5.2

Il punto si trova nel primo quadrante perché $x$ e $y$ sono entrambi positivi. I quadranti sono etichettati in senso antiorario, a partire da quello in alto a destra.

Quadrante $1$

Passaggio 6

$(a, b)$ si trova nel primo quadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 7

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 8

Sostituisci $r$ , $n$ e $θ$ nella formula.

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Passaggio 8.1

${(64)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8.2

$c$ e $\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Passaggio 8.3

$i$ e $\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 8.4

$s$ e $\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 8.5

Rimuovi le parentesi.

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Passaggio 8.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 8.5.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 8.5.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 8.5.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Passaggio 8.5.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Passaggio 8.5.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8.5.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8.5.8

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Passaggio 9

Sostituisci $k = 0$ nella formula e semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 9.4

Calcola l'esponente.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 9.5

Moltiplica $2 π (0)$ .

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Passaggio 9.5.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Passaggio 9.6

Somma $\frac{π}{3}$ e $0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Passaggio 9.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 9.8

Moltiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Passaggio 9.8.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Passaggio 10

Sostituisci $k = 1$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 10.4

Calcola l'esponente.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 10.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Passaggio 10.6

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Passaggio 10.7

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Passaggio 10.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Passaggio 10.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Passaggio 10.9.2

Somma $π$ e $6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Passaggio 10.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 10.11

Moltiplica $\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.11.1

Moltiplica $\frac{7 π}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Passaggio 10.11.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Passaggio 11

Sostituisci $k = 2$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 11.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 11.4

Calcola l'esponente.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 11.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Passaggio 11.6

Per scrivere $4 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Passaggio 11.7

$4 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Passaggio 11.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Passaggio 11.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.9.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Passaggio 11.9.2

Somma $π$ e $12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Passaggio 11.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 11.11

Moltiplica $\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.11.1

Moltiplica $\frac{13 π}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Passaggio 11.11.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Passaggio 12

Elenca le soluzioni.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

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