Precalcolo Esempi

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due vettori.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Passaggio 2.2.2

Somma $27$ e $96$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Passaggio 3.2.3

Somma $9$ e $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Passaggio 4.2.3

Somma $81$ e $144$ .

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| b⃗ | = 15$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $123$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $3$ da $123$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $3$ da $\sqrt{73} \cdot 15$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Passaggio 6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ per $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ per $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Passaggio 6.4.2

Sposta $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sqrt{73}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Passaggio 6.4.4

Eleva $\sqrt{73}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Passaggio 6.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Passaggio 6.4.7

Riscrivi ${\sqrt{73}}^{2}$ come $73$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{73}$ come $73^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Passaggio 6.4.7.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Passaggio 6.5

Moltiplica $5$ per $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Passaggio 6.6

Calcola $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

$θ = 16.31385242$

Inserisci il TUO problema