Precalcolo Esempi

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due vettori.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto scalare.

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Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

Passaggio 2.2.2

Somma $2$ e $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

Passaggio 4.2.3

Somma $4$ e $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $5$ per $85$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $425$ come $5^{2} \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $25$ da $425$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Passaggio 6.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $20$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{17}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{17}}$ per $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Passaggio 6.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{17}}$ per $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Passaggio 6.5.2

Eleva $\sqrt{17}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Passaggio 6.5.3

Eleva $\sqrt{17}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Passaggio 6.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Passaggio 6.5.6

Riscrivi ${\sqrt{17}}^{2}$ come $17$ .

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Passaggio 6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{17}$ come $17^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Passaggio 6.5.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Passaggio 6.6

Calcola $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$θ = 14.03624346$

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