Precalcolo Esempi

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Dividi per $16$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $4$ da $16$ .

$\sqrt{12}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + 4, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(4, 0)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (4), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 4, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $4$ da $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10

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