Precalcolo Esempi

$\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{y - 2}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (y + 3)$ per $1$ .

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B) (y - 2)$ per $1$ .

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2$

Passaggio 1.6.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $B$ .

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

Passaggio 1.7

Sposta $3 A$ .

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 3 A - 2 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 3 A - 2 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 3 A - 2 B$ con $1 - B$ .

$0 = 3 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (1 - B) - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 = 3 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $2 B$ da $- 3 B$ .

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 3 - 5 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 - 5 B = 0$ .

$3 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 B = - 3$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 B = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 B = - 3$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{3}{5}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{3}{5}$ .

$A = 1 - (\frac{3}{5})$

$B = \frac{3}{5}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{5 - 3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Sottrai $3$ da $5$ .

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}$

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