Algebra lineare Esempi

$- 4 x + y = - 8$ , $- 3 x + 5 y = 3$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} - 4 & 1 & - 8 \\ - 3 & 5 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{4}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{4}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 8 \\ - 3 & 5 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & 2 \\ - 3 & 5 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & 2 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 (- \frac{1}{4}) & 3 + 3 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & 2 \\ 0 & \frac{17}{4} & 9 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{4}{17}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{4}{17}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & 2 \\ \frac{4}{17} \cdot 0 & \frac{4}{17} \cdot \frac{17}{4} & \frac{4}{17} \cdot 9 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{36}{17} \end{array}]$

Passaggio 2.4

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & 2 + \frac{1}{4} \cdot \frac{36}{17} \\ 0 & 1 & \frac{36}{17} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{43}{17} \\ 0 & 1 & \frac{36}{17} \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = \frac{43}{17}$

$y = \frac{36}{17}$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{43}{17}, \frac{36}{17})$

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