Algebra lineare Esempi

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}]$

Passaggio 1

Il nucleo di una trasformazione è un vettore che rende la trasformazione uguale al vettore zero (la pre-immagine della trasformazione).

$[\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}] = 0$

Passaggio 2

Crea un sistema di equazioni a partire dall'equazione del vettore.

$a - 6 b - 3 c = 0$

$a - 2 b + c = 0$

$a + 3 b + 5 c = 0$

Passaggio 3

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 4.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 6 & 1 + 3 & 0 - 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 - 1 & 3 + 6 & 5 + 3 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{4}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{4}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 4.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 8 - 9 \cdot 1 & 0 - 9 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- 1$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- 1$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 4.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.7

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 4.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 6 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 4.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 6

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 7

Scrivi come insieme di soluzioni.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 8

Il nucleo di $S$ è il sottospazio ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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