Calcolo Esempi

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 {(x - 1)}^{2} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int {(x - 1)}^{2} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int u^{2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ come $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 6.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$

Passaggio 8

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$

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