Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x^{2} + x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $- 2$ e $y$ con $2$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Passaggio 4.2.1.2

$\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Passaggio 4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Passaggio 4.2.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $- 8$ e $6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{2}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 4.3.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $6$ e $2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{8}{3}$ a $K$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{8}{3}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

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