Calcolo Esempi

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} + x = x + 2$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} + x = x + 2$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x - x = 2$

Passaggio 1.2.1.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + x - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$x^{2} + 0 = 2$

Passaggio 1.2.1.2.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} = 2$

Passaggio 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $\sqrt{2}$ .

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $\sqrt{2}$ per $x$ in $y = (\sqrt{2}) + 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{2} + 2$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Passaggio 1.3.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{2} + 2$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- \sqrt{2}$ .

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $- \sqrt{2}$ per $x$ in $y = (- \sqrt{2}) + 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Passaggio 1.4.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Passaggio 1.4.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Passaggio 3.3

Combina i termini opposti in $x + 2 - x^{2} - x$ .

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$2 - x^{2} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 - x^{2}$ e $0$ .

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Applica la regola costante.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.8.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.8.2.1

Calcola $2 x$ per $\sqrt{2}$ e per $- \sqrt{2}$ .

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.8.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $\sqrt{2}$ e per $- \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3

Semplifica.

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Passaggio 3.8.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.2

Somma $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.6

Applica la regola del prodotto a $- (\sqrt{2})$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.8

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.12

Moltiplica $\frac{\sqrt{8}}{3}$ per $1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

Passaggio 3.8.2.3.14

Somma $\sqrt{8}$ e $\sqrt{8}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

Passaggio 3.8.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Passaggio 3.8.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

Passaggio 3.8.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 3.8.3.4

Per scrivere $4 \sqrt{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 3.8.3.5

$4 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 3.8.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 3.8.3.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 3.8.3.8

Sottrai $4 \sqrt{2}$ da $12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Forma decimale:

$3.77123616 \dots$

Passaggio 5

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