Algebra Esempi

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$ a $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ a $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $7$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.7

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna $3$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.5.1.3

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

Il minore per $a_{23}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{23}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

Il minore per $a_{33}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{33}$ per il suo cofattore.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Somma i termini.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ ((3 - λ) (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Espandi $(3 - λ) (5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Sottrai $5 λ$ da $- 3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 35)$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $35$ da $15$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- 8 λ + λ^{2} - 20)$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riordina $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Passaggio 1.5.5.1.2

Sottrai $λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ da $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Passaggio 1.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.1.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.3

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ + 20 λ$

Passaggio 1.5.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) + 20 λ$

Passaggio 1.5.5.4.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} + 20 λ$

Passaggio 1.5.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.1.2

Scomponi $- λ$ da $8 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) + 20 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.1.3

Scomponi $- λ$ da $20 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2}) - λ (- 8 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.5

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ (- 20)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ - 20) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Scomponi $λ^{2} - 8 λ - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 10, 2$

Passaggio 1.7.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- λ ((λ - 10) (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ = 0$

$λ - 10 = 0$

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ$ uguale a $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 1.7.4

Imposta $λ - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $λ - 10$ uguale a $0$ .

$λ - 10 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 10$

Passaggio 1.7.5

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 2$

Passaggio 1.7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$ vera.

$λ = 0, 10, - 2$

Passaggio 2

L'autovettore è uguale allo spazio nullo della matrice meno l'autovalore per la matrice identità dove $N$ è lo spazio nullo e $I$ è la matrice identità.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Trova l'autovettore usando l'autovalore $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $0$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

La somma di qualsiasi matrice più una matrice zero dà come risultato la matrice stessa.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.4

Somma $7$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.5

Somma $5$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.8

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.9

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{3}{20}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{3}{20}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 3.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Trova l'autovettore usando l'autovalore $λ = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 10$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 - 10 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $10$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $5$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $7$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Sottrai $10$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Sottrai $10$ da $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{7}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{7}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot 5 & - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 5 - 7 (- \frac{5}{7}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{5}{7} & - 10 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4

Sostituisci $R_{3}$ con $R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{7}{12}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{7}{12}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ \frac{7}{12} \cdot 0 & \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} & \frac{7}{12} \cdot - 10 & \frac{7}{12} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{7} \cdot 0 & - \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{7} (- \frac{35}{6}) & 0 + \frac{5}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{25}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x - \frac{25}{6} z = 0$

$y - \frac{35}{6} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{25 z}{6} \\ \frac{35 z}{6} \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 4.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

Trova l'autovettore usando l'autovalore $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 + 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Somma $3$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $5$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4

Somma $7$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.5

Somma $5$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.7

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.8

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.9

Somma $0$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 7 - 7 \cdot 1 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4

Sostituisci $R_{3}$ con $R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 5.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 5.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 6

L'autospazio di $A$ è l'elenco dello spazio vettoriale di ciascun autovalore.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

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